电路的图
1. 网络图论
图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。图论的概念由瑞士数学家欧拉最早提出，欧拉在1736年发表的论文《依据几何位置的解题方法》中应用图的方法讨论了各尼斯堡七桥难题，见图3.1a和b所示。
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图3.1 a 哥尼斯堡七桥 |
b 对应的图 |
19～20世纪，图论主要研究一些游戏问题和古老的难题，如哈密顿图及四色问题。1847年，基尔霍夫首先用图论来分析电网络，如今在电工领域，图论被用于网络分析和综合、通讯网络与开关网络的设计、集成电路布局及故障诊断、计算机结构设计及编译技术等等。
2. 电路的图
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应，如图3.2所示，所以电路的图是点线的集合。通常将电压源与无源元件的串联、电流源与无源元件的并联作为复合支路用一条支路表示。如图3.2c所示。
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a 电路图 |
b 电路的图 (一个元件作为一条支路) |
c 电路的图 (采用复合支路) |
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图3.2电路和电路的图 |
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有向图――标定了支路方向（电流的方向）的图为有向图。
连通图――图G的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在
两个分离部分。
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图3.3 有向图 |
图3.4 非连通图 |
图3.5 连通图 |
子图――若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是图G的子图。
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a 电路的图（G） |
b G图的子图 |
c G图的子图 |
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图3.6 |
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树（T）——树（T）是连通图G的一个子图，且满足下列条件：
(1) 连通；(2)包含图G中所有结点；(3)不含闭合路径。
构成树的支路称树枝；属于图G而不属于树（T）的支路称连支：
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图3.7 电路的图与树的定义 |
需要指出的是：
1）对应一个图有很多的树；
2）树支的数目是一定的为结点数减一：bt=(n-1)
3）连枝数为 bl=b-bt=b-(n-1)
回路――回路L是连通图G的一个子图，构成一条闭合路径，并满足条件：
(1)连通；(2)每个节点关联2条支路。
需要指出的是：
1）对应一个图有很多的回路；
2）基本回路的数目是一定的，为连支数；
3）对于平面电路，网孔数为基本回路数 l=bl=b-(n-1)
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图3.8电路的图与回路定义 |
基本回路(单连支回路)――基本回路具有独占的一条连枝色，即基本回路具有别的回路所没有的一条支路。
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图3.9 电路的图及其基本回路 |
结论：电路中结点、支路和基本回路关系为：支路数＝树枝数＋连支数＝结点数－1＋基本回路数 b=n+l-1
例3－1 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。
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解：
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对应例图的三个树 |
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对应三个树的基本回路 |
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§3－2 KCL和KVL的独立方程数
1. KCL的独立方程数
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对图中所示电路的图列出4个结点上的KCL方程（设流出结点的电流为正，流入为负）： |
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把以上4个方程相加，满足：①＋②＋③＋④＝0
结论：n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个，即求解电路问题时，
只需选取n－1个结点来列出KCL方程。
2. KVL的独立方程数
根据基本回路的概念，可以证明KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)
结论：n个结点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方程数为：（n-1）+ b-(n-1)=b
